计算机辅助几何设计中的保形插值理论及应用

• 作者: 方逵
• 来源期刊: 计算机工程与科学
• 学科: 工学
• 年，卷（期）: 2001,（6）
• 所属期刊栏目: 试题选载与博士论文摘要
• 页码范围: 109
• 页数: 1页
• 分类号: TP3
• 语种: 中文
• DOI: 10.3969/j.issn.1007-130X.2001.06.032

摘要

本文主要研究计算机辅助几何设计中的分段多项式保形插值理论与算法,分段参数多项式保形插值方法及GHI问题,参数曲线弧长参数化的混合数值算法与近似方法,与给定任意切线多边形相切的保形逼近样条曲线,Bézier曲线和NURBS曲线的等距线生成以及一般参数曲线等距线的保形逼近曲线. 本文首先系统地研究了分段多项式的保形插值,建立了分段多项式的保形插值理论框架,导出了分段三次Hermite插值保形的充要条件,构造了一个C1连续的分段三次多项式保形插值算法,导出了2k+1次或2k次多项式保凸的充要条件,给出了插入内结点的区域范围,并且构造了Ck连续的分段2k+1次(或2k次)的保形插值算法. 其次,充分利用二分法和弦截法的优点,提出了一种快速求解弧长函数的反函数的混合数值算法,且在计算机上实现了参数曲线的弧长参数化法.基于保单调插值理论,对弧长函数作保单调逼近,得到了一种曲线的近似弧长参数化方法,该参数曲线插值原参数曲线上的一组有序点列,且在该点列上有精确的弧长参数化.进一步研究表明,该弧长参数化曲线是原参数曲线的一种变换,它们有着完全相同的几何形状. 接着,充分利用相邻四个型值点的几何信息,提出了一种新的基函数,构造了一条C2连续的参数五次插值样条曲线.通过该样条曲线提供的切矢调节参数αi,适当限制αi和范围,导出了一条C2连续的保形参数五次插值样条曲线,同时,还研究了计算机辅助几何设计中的GHI问题. 本文还讨论CAD中带有给定切线多边形的保形样条逼近曲线,基于Bézier曲线和B样条曲线的优良几何性质.文中分别构造了C2连续的三次Bézier样条曲线,C2连续的有理三次Bézier样条曲线,C2连续和C3连续的四次和五次Bézier样条曲线,Cn-1连续的n次B样条曲线.所有这些样条曲线的控制点由切线多边形顶点经简单计算生成,且样条曲线对切线多边形是保形的. 最后,利用Bézier曲线的De castejau算法和NURBS曲线的de Boor算法,直接计算Bézier曲线和NURBS曲线的切矢,从而导出Bézier曲线和NURBS样条曲线的等距曲线的简单算法.对一般的参数曲线,计算出等距曲线上的一组有序点列,给出了保形的三次B样条逼近曲线.