椭圆的一个有趣性质及其应用

• 作者: 张乃贵
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2004,（15）
• 页码范围: 15
• 页数: 1页
• 分类号: G63

摘要

性质椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B的连线PA、PB与对称轴不平行,则直线PA、PB的斜率之积为定值.证明如图1所示,设P(x,y),A(x1,y1),则B(-x1,-y1).∴x2a2+y2b2=1,①∴x21a2+y21b2=1,②由①-②得x2-x21a2=-y2-y21b2,∴y2-y21x2-x21=-b2a2,∴KPA·KPB=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y21x2-x21=-b2a2为定值.这条性质是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质属性,因而能简洁地解决问题.推论若M是椭圆的弦AB之中点,则直线OM与直线AB的斜率之积为定值.证明如图2所示,连结AO并延长交椭圆于点C,连结OM、BC,则OM∥BC,∴KOM=KBC.由性质知KAB·KBC=-b2a2,∴KOM·KAB=-b2a2为定值.推论是圆中的垂径定理在椭圆中的推广,现用性质及推论来解决几个问题.例1如图3所示,已知两椭圆C1:x2a2+y2b2=λ21;C2:x2a2+y2b2=λ22(a>b>0,λ1>λ2>0).若不平行于坐...