分数阶对流-弥散方程和分数阶Fokker-Planck方程的比较:动态过程及实际应用

• 作者: 张勇
• 来源期刊: 南京大学学报（自然科学版）
• 学科: 地球科学
• 关键词: 分数阶导数方程 Fick定理 动力学分析 数值模拟
• 年，卷（期）: 2011,（3）
• 所属期刊栏目: 庆贺薛禹群院士八十华诞暨地下水模拟专栏
• 页码范围: 265-275
• 分类号: TN911.72|P641
• 语种: 中文

摘要

分数阶对流-弥散方程(fADE)和分数阶Fokker-Planck方程(fFPE)都被视为一种有效工具来研究含变扩散系数D的Lévy运动.然而,这两种分数阶导数方程的差异并不清楚,给实际应用带来了困难.本文通过系统分析物理机理和应用实例,来区分这两种模型.首先,连续流原理表明,fADE模型起源于广义的Fick扩散理论,而fFPE方程则用到了迥异于Fick定理的非局域性扩散通量.基于Langevin方程的动力学分析进一步表明,fADE方程刻划的溶质运移含有α-1阶的附加Lévy噪声,以便反映D的空间波动.此外,Eulerian和Lagrangian数值实验显示,当D随空间连续变化时.这两种模型描述了具有不同前缘的溶质云.对于离散型D,fFPE方程所描述的粒子云具有突变界面,而fADE方程对应的溶质云却分布平滑.最后,这两种模型被用来模拟在著名的MADE实验场观测到的氚的空间分布.曲线拟合结果表明,虽然fFPE方程的数值近似的效率较高,它需要用到超过实测值的平均水流速度,才能模拟出非稳定态下冲积含水层中溶质的Lévy运动.而fADE模型使用的水文学参数则更合理,因此实用性更强.