同余数问题与椭圆曲线

• 作者: 田野
• 来源期刊: 中国科学（数学）
• 关键词: 同余数 椭圆曲线 BSD猜想 Goldfeld猜想 Heegner点
• 年，卷（期）: 2019,（10）
• 所属期刊栏目: 综述
• 页码范围: 1313-1336
• 页数: 24页
• 语种: 中文
• DOI: 10.1360/N012019-00054

摘要

设n为一个模8余5的正整数,使得n的所有素因子均模4余1且Q(√-n)没有阶为4的理想类.本文引入对n的素因子个数的归纳方法,给出椭圆曲线E(n):ny2=x3-x上Heegner点的非平凡性,从而给出n为同余数的证明(定理6.1).本文还综述对同余椭圆曲线的Goldfeld猜想及BSD猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)方面的结果.一方面,基于这种归纳方法,Tian等(2017)推广这一结果得到了更多的同余数,再结合Smith (2015)及Heath-Brown (1994),本文证明同余数问题的弱Goldfeld猜想(主定理A).另一方面,基于定理6.1以及Li、Liu和本人(2019)的工作,本文证明完整BSD猜想对椭圆曲线E(n)成立(主定理B).这样得到了完整BSD猜想对无穷多条秩为1的椭圆曲线成立.