走向深度融合:一道椭圆试题的探析与拓展

• 作者: 渠怀莲
• 来源期刊: 中学数学研究
• 年，卷（期）: 2021,（10）
• 所属期刊栏目: 教例探微
• 页码范围: 22-25
• 页数: 4页
• 语种: 中文
• DOI: 10.3969/j.issn.1673-6559.2021.10.010

摘要

问题 已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1 ( a>b>0 )的离心率为(2)/2,且过点A(2,1). (1)求椭圆C的方程;(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得DQ为定值. 分析:(1)由题意得到关于a,b,c的方程组,求解方程组即可确定椭圆方程. (2)设出点M,N的坐标,在斜率存在时设方程为y=kx+m,联立直线方程与椭圆方程,设而不求,根据已知条件,已得到m, k的关系,进而得直线MN恒过定点,在直线斜率不存在时要单独验证,然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.