向量的数量积性质在数学竞赛中的应用

• 来源期刊: 中学数学研究
• 学科: 教育
• 关键词: 向量 数量积 数学 竞赛题 高中 解法 代数式 求值问题
• 年，卷（期）: 2003,（10）
• 页码范围: 30-31
• 页数: 2页
• 分类号: G634.6
• 语种: 中文

摘要

我们知道,对于两个非零向量 p、q,其数量积定义为:p·q=|p|·|q|cosθ(θ是 p 与 q 的夹角),由此可以得到一些重要的性质,如:p~2=|p~2|,p·q=0p⊥q,p·q≤|p| |q|(当且仅当 p、q 同向时取等号)|p|·|q|≤|p|·|q|(当且仅当 p·q 共线时取等号)等.对于某些代数问题,若能有针对性地构造向量,并利用上述数量积的性质,则能收到化难为易、事半功倍之效.下面以数学竞赛试题作例加以说明.1.求代数式的值例1 设 a,b,c,x,y,z 均为实数,且 a~2+b~2+c~2=25,x~+y~2+z~2=36,ax+by+cz=30,求(a+b+c)/(x+y+z)的值.(1992年友谊杯国际数学邀请赛九年级试题)