巧用射影法解立体几何题

• 作者: 熊祚林
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2004,（16）
• 页码范围: 41-42
• 页数: 2页
• 分类号: G63

摘要

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到某个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量上,常常可以巧妙地求解二面角、距离、体积等问题.一、面积射影法若二面角的一个半平面内有一个面积为S的多边形,此多边形在另一个半平面内的射影构成的多边形的面积为S',则利用公式cosθ=S'S可求出二面角θ的大小.例1如图1所示,一条长为2的线段AB夹在互相垂直的两平面α、β之间,AB与α成45°角,与β成30°角,过A、B两点分别作两个平面的交线的垂线AC、BD.求平面ABD与平面ABC所成的二面角.分析常规解法是先作出所求二面角的平面角,然后用余弦定理求解.虽然思路清晰,但解答过程繁琐,运算量大.利用面积射影法则较为简单,所求二面角即为四面体C-ABD的侧面ABC与底面ABD的夹角,另外两侧面与底面的夹角易求,且底面ABD的面积等于三个侧面在底面上的射影面积之和.∵BD⊥CD,α⊥β,∴侧面ACD⊥底面ABD,∴S△ABD=S△ABC·cosθ+S△BCD·cos∠CDA+S△ACD·cosπ2.∵AD=BD=2姨,AC=1,BC=3姨,CD=1.∴S△ABD=12AD·BD=1,S△ABC=12AC·BC=3姨2S△...