立体几何中的“五心”

• 作者: 张德文 李忠平
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2004,（12）
• 页码范围: 5-6
• 页数: 2页
• 分类号: G63

摘要

一、重心有关的定义、定理:(Ⅰ)在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的重心.(Ⅱ)设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则有(1)BD=DC;(2)AG∶AD=2∶3;(3)S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC;(4)AD2=14(2AB2+2AC2-BC2).例1三棱锥V-ABC三侧面与底面所成的二面角分别为30°,45°,60°,底面积为3,顶点在底面上的射影是底面的重心,求三棱锥的侧面积.解设顶点在底面的射影为G,依题意知,G是△ABC的重心.由平面几何知识得S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC=1.由面积射影定理知S△VAC·cos30°=S△GAC,∴S△VAC=1cos30°=23姨3.同理,S△VBC=1cos60°=2,S△VAB=1cos45°=2姨.∴S侧=S△VAC+S△VBC+S△VAB=6+23姨+32姨3.二、垂心有关的定义、定理:(Ⅰ)设O为三棱锥P-ABC的顶点P在底面上的射影.(1)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的垂心;(2)若三条侧棱两两相互垂直,则O是△ABC的垂心.(Ⅱ)设△ABC的...