不等式错解分析

• 作者: 杨新兰
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2005,（2）
• 页码范围: 20
• 页数: 1页
• 分类号: G63

摘要

一、要注意不等式成立的条件例1已知x,y缀R+,且1x+4y=1,求x+y的最小值.错解∵x,y∈R+,∴0<1x·4y≤眼12穴1x+4y雪演2=14,即xy≥16.∴x+y≥2xy姨≥216姨=8,∴x+y的最小值是8.分析上面解法中,连续进行了两次不等式变形:x+y≥2xy姨与2xy姨≥216姨,且这两个不等式中的等号不能同时成立.因为第一个不等式当且仅当x=y时等号成立,第二个不等式当且仅当1x=4y时等号成立,即只有x=2且y=8时等号成立.因此,x+y不可能等于8.正解∵1x+4y=1,∴x+y=(x+y)·穴1x+4y雪=yx+4xy+5≥2×yx·4xy姨+5=9.上式当且仅当yx=4xy,即y=2x时等号成立.将1x+4y=1与y=2x联立,可求得x=3且y=6,∴当x=3且y=6时,x+y取得最小值9.小结连续使用不等式变形求最值时,必须注意每次不等式中等号成立的条件,在解此类问题时,应检验每个等号成立的条件是否一致,若发现等号不能同时成立,说明解法错误,应另选他法.例2若a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求4a+1姨+4b+1姨+4c+1姨的最大值.错解∵4a+1姨=(4a+1)×1...