巧用等比数列求和公式证明不等式

• 作者: 李家煜
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2005,（24）
• 页码范围: 12-12
• 页数: 1页
• 分类号: G63

摘要

等比数列求和公式为Sn=a1(11--qq n)(q≠1),有时用此公式证明不等式可简化证明过程.将数列知识与不等式知识相融合,既可培养学生思维的灵活性和创造性,又可简化思路、优化解题过程.一、直接公式法例1求证:1+21!+31!+41!+…+n1!<2(n≥2,n缀N).证明1+12!+31!+41!+…+n1!<1+12+212+123+…+21n-1=1×(11--121n)2=2-12n-1<2(n≥2,n缀N).故原不等式成立.小结本题直接运用等比数列求和公式,起到了立竿见影的效果.二、求和公式的逆用例2已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中a1=b1=a,a2=b2=b(b>a>0).求证:当n>2且n缀N时,bn>an.证明an=a+(n-1)(b-a),bn=a·(ba)n-1.要证bn>an,只需证明a·(ba)n-1>a+(n-1)(b-a),即(ba)n-1>1+(n-1)(ab-1).要证1-(ba)n-1<(n-1)(1-ba),即证1-1(-ba b)n-1a>n-1.∴1+ba+(ab)2+…+(ab)n-2>n-1(n>2,n缀N).上式显然成立.故原不等式成立.例3若x>...