用几个特殊函数构造零点问题中的辅助函数

• 来源期刊: 商情(科学教育家)
• 学科: 数学
• 关键词: 零点 基本初等函数 中值命题 连续导数 构造辅助函数 已知函数 解决问题
• 年，卷（期）: 2007,（11）
• 页码范围: 120-121
• 页数: 2页
• 分类号: O172
• 语种: 中文

摘要

在高等数学的很多问题,特别是中值命题中,常通过构造辅助函数的方法达到解决问题的目的,而辅助函数往往与题设中的已知函数密切相关,也就是说,辅助函数的构造离不开已知函数,如拉格朗日定理证明中的辅助函数φ(x)=f(α)f(b)b-fα(α)(x-α)与柯西定理中的辅助函数F(x)=-f(α)-gf((bb))-fg((αα))[b(x)-g(α)]均由题设中函数f(x)或g(x)及其端点的函数值构成.在中值命题中,还有较广泛一类零点问题需用已知函数的导数f''''(x)、ex等特殊函数去构造辅助函数,使命题的假设与结论之间搭建更为便捷的桥梁,从而达到化难为易的目的.该文就几个常用特殊函数对辅助函数的构造予举例说明.1用已知函数f(x)的导数f''''(x)构造辅助函数例1若函数f(x)在区间[α,b]上具有二阶导数,f(x)与f''''''''(x)同号,且f(x)在任何小区间上不恒为零,则f(x)或f''''(x)在[α,b]上至多有一个零点.分析:由结论,可考虑构造辅助函数F(x)=f(x)f''''(x),对其求导,便有f''''2(x)+f''''''''(x)f(x).由已知条件知,f(x)在[α,b]可导,且x∈[α,b],F''''(x)=f''''2(x)+...