一道捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题的两种解法

• 作者: 张锦川
• 来源期刊: 中学数学研究
• 年，卷（期）: 2021,（3）
• 所属期刊栏目: 竞赛之窗
• 页码范围: 66
• 页数: 1页
• 语种: 中文

摘要

问题 若实数 x,y,z 满足 x +y +z =12,x2 +y2+z2 =54,试求xy的最大值和最小值.解法1:由x2+y2=54-z2 ,可设{x= 54-z2 cosθ, y= 54-z2 sinθ.则x+y+z=12,即12-z= 54-z2 ( sinθ+cosθ) =108-2z2 sin(θ+ π4 ),从而|12-z|≤ 108-2z2 ,解得z∈[2,6].所以xy= 12 [(x+y)2 -(x2 +y2)]= 12 [(12-z)2 -(54-z2)] =z2 -12z+45.由2≤z≤6,得9≤z2 -12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9.