子流形低阶曲率泛函的变分计算与间隙现象

• 作者: 刘进 国防科技大学系统工程学院
• 来源期刊: 数学理论与应用
• 学科: 数学
• 关键词: 第二基本型 低阶曲率 间隙现象 积分不等式 临界点
• 年，卷（期）: 2024,（3）
• 页码范围: 25-62
• 页数: 38页
• 语种: 中文

摘要

设φ:Mn→Nn+p是一般外围流形中的n维紧致无边子流形.φ的第二基本型模长平方S、平均曲率模长平方H2和迹零第二基本型模长平方ρ=S-nH2等重要的低阶曲率分别刻画了全测地、极小、全脐等重要的几何性质.本文构造低阶曲率泛函L_((Ⅰ,n,F))(φ)=∫MF (S, H2)dv, L_((Ⅱ,n,F))(φ)=∫MF (ρ, H2)dv,其中F:[0,+∞)×[0,+∞)→■是一个抽象的充分光滑的双变量函数.这类泛函可刻画子流形与全测地子流形、极小子流形和全脐子流形的整体差异,将多类子流形泛函囊括在统一的框架之下,且与子流形中多类著名问题,如Willmore猜想,有着密切联系.本文将计算第一变分公式,在空间形式中构造临界点的一些例子,推导泛函临界点的积分不等式,并基于此对间隙现象进行讨论.