Omega Model of Standard Calculus

• 来源期刊: 常州工学院学报
• 学科: 数学
• 关键词: 不可分量 标准微积分 欧弥伽连续统模型
• 年，卷（期）: 2003,（4）
• 页码范围: 18-30
• 页数: 13页
• 分类号: O141.4
• 语种: 中文

摘要

本书中有两个发现和十七个成果.其中有十二个成果是关于当代数学的,另外的五个是解决了五个公元前250-550年之间的历史难题.发现之一是:本书系统地研究了不可分量(实数的空集合)及其性质.发现之二是:本书发现了标准微积分学的新模型-欧弥伽连续统模型.为了说清楚关于当代数学的十二个成果,令R代表实数集合且r∈R是任意的,这十二个成果是:Ⅰ.本书证明了实数集合不能填满一条建立了固定标架的欧几里德直线;Ⅱ.对确定了标架的Euclid直线L进行了完整的微分分拆,即L={-∞的右单子∪r的左单子∪r∪r的右单子∪∞的左单子}=欧弥伽连续统ΩΠ,并对无穷小量的积分建立了三条公理;Ⅲ.令ω代表r的左单子和r的右单子的共同测度,在标准数学中证明了ω是R之外的正无穷小;Ⅳ.对若当,卡拉特欧多里和勒贝格测度论中的两条公理给出了宇观的、宏观的和微观的反例,并给出了欧弥伽极限协调性测度的新概念;Ⅴ.由单个自然数的测度为零证明了自然数集合N的测度也等于零;并且由单个实数的测度为零证明了实数集合R的测度等于零;Ⅵ.在ΩΠ中定义了序和算术运算;Ⅶ.把外尔斯特拉斯极限改进为欧弥伽极限;Ⅷ.把狄特金分割改进为欧弥伽分割;Ⅸ.把康托连续统改进为欧弥伽连续统;Ⅹ.在ΩΠ中给出了欧弥伽定积分的定义;Ⅺ.对于一个实数函数给出了三种欧弥伽定积分的定义,并给出了三种可积函数类;Ⅻ.精确陈述和严格证明了被称之为牛顿-莱布尼茨的公式,并将它改进为欧弥伽公式.关于古代数学的五个成果是:Ⅰ.本书系统地严格地论证了不可分量的存在和作用.将毕达哥拉斯格言:"万物皆数"发展为一个更加完全的格言:"一切的组成,除了数,就是不可分量";Ⅱ.破解了芝诺(Zeno of Elea,公元前五世纪)的总格言;Ⅲ.对我国学者庄周的"无厚,不可积也"的猜想,作了严格论证;Ⅳ.对亚里斯多德否认数能够产生一个连续统的猜想给出了严格的论证;Ⅴ.严格论证了庄子的"万世不竭"的思想.参考[26],作者在2002年8月20-28日于北京举行的国际数学家大会上做了一个短的发言,其标题是"标准的无穷小微积分学".这个短的发言的摘要的内容如下:"此文对一条确定了固定标架的欧几里德直线给出了完整的微分分拆,并对以实数为标号的无穷小的积分给出了三条公理;在标准数学中证明了在实数集合之外存在正的无穷小;对若当,卡拉特欧多里和勒贝格测度论中的两条公理给出了宇观的,宏观的和微观的反例;将外尔斯特拉斯极限改进为黄氏极限,将康托连续统改进为黄氏连续统,和将牛顿-莱布尼茨公式改进为黄氏公式."然本书是这个短的发言的改写本.