a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

• 作者: 曾经
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2005,（1）
• 页码范围: 44
• 页数: 1页
• 分类号: G63

摘要

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=｜a｜2+｜b｜2≥2｜a｜·｜b｜=2｜ab｜,∴a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).例2实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则1Smax+1Smin=_____.解∵x2+y2≥2｜xy｜,又-x2+y22≤xy≤x2+y22,∴-52(x2+y2)≤-5xy≤52(x2+y2),∴32(x2+y2)≤4x2-5xy+4y2≤132(...