数学归纳法的四种类型

• 作者: 赵建勋
• 来源期刊: 高中生
• 学科: 教育
• 年，卷（期）: 2005,（16）
• 页码范围: 23
• 页数: 1页
• 分类号: G63

摘要

一、根据条件直接猜想例1已知数列{an}中的各项分别为182××132,…,8n(2n-1)2(2n+1)2,…,Sn是数列的前n项和,计算可得S1=98,S2=2254,S3=4489,S4=8810.根据结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解由S1=1-19,S2=1-215,S3=1-419,S4=1-811,猜想Sn=1-(2n1+1)2(n缀N+).证明如下:(1)当n=1时,S1=1-312=89,等式成立.(2)设当n=k(k≥1,k缀N)时,Sk=1-(2k1+1)2成立.∵an=(2n-1)82(n2n+1)2=(2n1-1)2-(2n1+1)2,∴Sk+1=Sk+ak+1=1-(2k1+1)2+(2k1+1)2-(2k1+3)2=1-[2(k+11)+1]2.由此可知,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n缀N+都成立.二、先计算,再归纳猜想例2已知数列{an}满足a1=1,an=an-1cosx+cos(n-1)x,其中x≠kπ(k缀Z),n≥2.(1)求a2和a3的表达式;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明.解(1)a2=cosx+cosx=...