论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性

• 作者: 沈卫国
• 来源期刊: 前沿科学
• 学科: 数学
• 关键词: 数学分析 微积分求导 测度 黎曼积分 勒贝格积分 可数 不可数 可积 不可积 增量分析 实数 有理数 连续统 狄利克雷函数 极限 贝克莱悖论
• 年，卷（期）: 2017,（3）
• 页码范围: 54-64
• 页数: 11页
• 分类号: O172
• 字数: 12519字
• 语种: 中文
• DOI: 10.3969/j.issn.1673-8128.2017.03.008

摘要

黎曼积分,有不可积函数,而勒贝格积分规定,处处稠密的有理数域的测度为0,而原本同样是处处稠密的实数域或无理数域的测度才不为0.这种“规定”唯一“正当”的理由,就是通常被认为是“不可数”的实数域或无理数域是连续的(连续统),因此才有非零的测度值.而“可数”的有理数域被认为是不连续的,所以测度只能为0.本文经分析指出,此种理由不能成立.而在笔者提出的“增量分析”的观点下,测度不过就是增量本身,因此使理论更加合理自然,也更加简化.黎曼积分,使传统微积分中不可积的一些函数可积了,而增量分析,使黎曼积分中一些测度为0的积分域可以不为0了.对微积分求导及连续统的可数性问题,均在前期大量工作的基础上,又提出更加有力的全新的观点,使相关理论更为简洁、明确,达到了无可置疑的程度.