不定常自由边界问题研究

• 作者: 吴小庆
• 来源期刊: 理论数学
• 学科: 数学
• 关键词: 热传导方程 BLACK-SCHOLES方程 自由边界问题 反问题
• 年，卷（期）: 2017,（2）
• 页码范围: 104-135
• 页数: 32页
• 分类号: O1

摘要

本文建立了热传导方程的奇异内边界问题:求{u(x,t),x(t)},?u/?t=a2?2u/?x2-b?u/?x-ru+γ(t)δ(x-x(t)),-∞x0 u(x,0)=0,-∞x∞ u(x(t),t)=max-∞x+∞ u(x,t)=φ(t),t≥0 ?u/?t(x(t),t)=o,t≥0 limx→-∞|u|∞,limx→+∞|u|∞ 使其满足(I)其中φ(t)为待求函数。并获得奇异内边界的线性函数表达式x(t)=x0+bt ,且解函数u(x,t) 满足u(x(t),t)=max-∞x+∞ u(x,t) 。同时获得了热传导方程的问题A (在区域-∞xx(t),t≥0上的自由边界问题)和问题B(在区域x(t)≤x 上的自由边界问题)的自由边界皆为x(t)=x0+bt,问题A和问题B的自由边界与奇异内边界重合;线性函数表达式x(t)=x0+bt 为最佳热源位置边界。完全类似地,我们建立了Black-Scholes方程的奇异内边界问题:求{u(s,t),s(t)},使其满足?u/?t+(σ2/2)s2(?2u/?s2)+(r-q)s(?u/?s)-ru=-γ(t)δ(s-s(t)),0s+∞,0tT u(s,T)=φ(s),0≤s+∞ u(s(t),t)=φ(t),0tT (?u/?s)(s(t),t)=v(t),0tT lims→o+|u|+∞,lims→+∞|u|+∞ (II)其中φ(t), v(t) 为待求函数。获得:10 当终值函数φ=0且边值函数v=0时;奇异内边界为s(t)=sTeσ2ω(T-t) ,且解函数u(s,t)=w(s,t) 满w(s(t),t)=max0≤sw(s,t);20当终值函数 φ≠0时;获得奇异内边界为s(t)=sTeσ2ω(T-t) ,且解函数u(s,t)=v(s,t)+w(s,t) 满足w(s(t),t)=max0≤sw(s,t) ,v(t)=(?v/?s)(s(t),t),φ(t)=v(s(t),t)+w(s(t),t) 。同时建立了自由边界问题A(在区域0≤s≤s(t), (0,T) 上)和自由边界问题B(在区域s(t)≤s∞,(0,T)上)。获得问题A和问题B在齐次终值条件下确定的自由边界都为s(t)=sTeσ2ω(T-t) 。终值函数φ满足=[K,+∞) 或=[0,K]得到 sT=K。从而问题A和问题B具有公共自由边界s(t)=Keθ(T-t),满足条件(1/s(t))(ds(t)/dt)≡-θ ,常数θ=q-r+(1/2)σ2 由Black-Scholes方程中的参数q,r,σ2 唯一确定。

作者信息

序号	姓名	单位	发文数	被引次数	H指数	G指数
1	吴小庆	西南石油大学理学院	32	216	8.0	14.0