摘要:

循环码是线性分组码中最重要的一个子类,由于其具有代数结构清晰、编译码简单且易于实现,被广泛地应用于通信系统和储存设备中.目前,大部分已有的研究工作最多只能实现三元最优循环码,对五元循环码的研究工作较少.对一类五元最优循环码C(1,e,t)进行研究.首先,给出一种有效且快速判断五元循环码C(1,e,t)是否最优的方法;其次,基于提出的方法得到当e=5k+1及e=5m?2时,循环码C(1,e,t)为最优循环码;最后,基于有限域F5m中的完全非线性函数,构造一类具有参数[5m?1,5m?2m?2,4]的五元最优循环码.

摘要:

Helleseth等最近给出了一类二项式形式的完全非线性函数,这是至今为止所发现的第一类由两个互不等价的单项式组成的二项式形式的完全非线性函数.本文利用Frobinus自同构将其变形为一个新的二项式,给出了其完全非线性的简洁证明,指出了这类函数与x2是等价的,最后讨论了该类完全非线性函数的计数性质.

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完全非线性函数在密码设计与分析中具有十分重要的作用.利用代数数论的方法,研究一般有限Abel群上完全非线性函数的原像分布特征,给出了一般有限Abel群上完全非线性函数存在的一个必要条件,证明了某些群上不存在完全非线性函数,得到了素数域上完全非线性函数的原像分布.

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完全非线性函数是特征为奇数的有限域上抗差分密码攻击最优的函数,目前已有的六类完全非线性函数都是2-1的.当Ⅱ(x)为Fqm上的Dembowski-Ostrom函数或者Coulter-Matthews函数时,从Fpm到Fq的完全非线性函数tr(aⅡ(x))的原像分布恰有两种取值,其中一种取值对应Fqm所有平方剩余元,另一种取值对应Fqm所有非平方剩余元.该结论在文中得到了证明.

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本文证明了Znm(m为合数)上没有可用多项式表示的完全非线性函数.

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介绍了Bent函数的主要研究成果和研究现状,展望了Bent函数的发展,并指出了若干重要的研究课题.

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本文讨论了有限域F4上n元完全非线性函数与GF(2)上2n元二维Bent函数的关系,给出了由2n元二维Bent函数构造F4上n元完全非线性函数的方法,并通过例子说明了如何由四元二维Bent函数构造F4上二元完全非线性函数.

摘要:

完全非线性函数和几乎完全非线性函数由于其良好的差分性质,在密码学、编码学和有限几何等众多领域有着广泛的应用.而完全非线性函数和交换半域的对应关系,使得研究有限交换半域来推动密码学、编码学等领域的发展成为可能.半域的研究始于Dickson,其后Knuth给出了半域特征的定义,使半域构造及其性质的研究成为有限几何中的热点问题.2013年,Zhou和Pott给出了一种基于Albert预半域乘法和秩为2的Cohen-Ganley预半域乘法的新的秩为2的有限预半域,本文结合Zhou和Pott预半域乘法的构造思想,参考Albert旋转预半域乘法的形式,推广提出了一类预半域并证明了参数多项式f一定是置换多项式,并且表达式是唯一确定的.结合该类预半域以及Zhou和Pott提出的一个完全非线性函数,导出了一类几乎完全非线性函数,并对其中m=4的情形,用Magma软件进行了编程测试,证明了几乎完全非线性函数是等价于另一个已知的几乎完全非线性函数,但是对于m≠4的情形,测试所得到的几乎完全非线性函数是否等价于已知的函数仍是一个值得研究的问题.